的角度的正弦值的导数等于相同的角度的余弦

德纳简单三角学函数y = SIN（X），是在整个域的每个点可微的。 我们必须证明 正弦的衍生物 任何参数的是等于相同角度的余弦，即，“= cos（x）的。

证明是基于导数函数的定义

我们定义在一个特定的点_xΔH0的一些小邻居X（任意_）。 我们将它显示函数值，并在点你都可以找到一个给定函数的增量。 如果Δh的-参数递增，新的参数-该X ₀ +△= X，该函数的对自变量（x）的一个给定值的值等于的sin（x ₀ +ΔX），在特定点的函数值（X _0）也是已知的。

现在，我们有量Δu= SIN（X ₀ +ΔH）-Sin（X _0） -获得的增量功能。

根据两个不相等的角度的正弦总和的公式，我们将转换差量Δu。

ΔU= SIN（X _{0）·cos（ΔH）+} cos（X _{0）·SIN（ΔX）}减去的sin（x _{0）=（cos（ΔX）-1} ）·SIN（ X _0）+ cos（X _0） ·SIN（ΔH）。

进行置换术语第一分组，以第三的sin（x _0），取出的共同因子-正弦-括号。 我们在表达的Cos差（ΔH）收到-1。 它留给改变符号在括号和括号的前面。 知道什么是1-COS（ΔH），我们作出改变和得到的简化的表达量Δu，然后由Δh的划分。
ΔU/Δh的将具有以下形式：的Cos（X _{0）·SIN（ΔH）/Δh}的^2·2仙（0.5×ΔH）·SIN（X _0）/Δh的。 这是函数的增量接纳参数的增量的比率。

它仍然找到LIMΔh的过程中，我们获取的比率的限制，趋向于零。

已知的是，限制仙（ΔH）/Δx为等于1，的条件下。 和表达式^2·2仙（0.5×ΔH）/Δh的在所得总和特定变换到含有作为第一乘法器显着的限制产品：分数和znemenatel鸿沟由2分子，正弦的平方取代产物。 具体方法如下：
（SIN（0,5·ΔX）/（0,5·ΔX））·SIN（ΔX/ 2）。
此表达时的Δh趋向于零，所述的极限将等于零（0乘以1）的数目。 事实证明，ΔY/Δh的比的极限为cos（X _0）·1-0，这为cos（X _0），它的表达是独立的Δh的趋向于0。结论：任何角度的正弦值的导数等于x x的余弦，可以写为：y“= cos（x）的。

所得的式以已知的衍生物，其中所有的基本功能的表中列出

在解决问题的，在那里他遇到了正弦的导数，你可以使用 差异化的规则 和表的现成的公式。 例如：找到最简单的函数y的导数= 3·SIN（X）-15。 我们使用基本推导规则去除数值因子对导数的符号，并计算微分常数数目（这是零）。 应用角的导数的一个正弦表值X以下的Cos（X）。 接收的答案为：y“= 3·cos（x）的-O。 此衍生物，反过来，也是一个初等函数Y = H·cos（x）的。

正弦的平方衍生物任何参数的

在表达式的计算（仙^{2（X））“}必须记住如何分化复合函数。 所以^，2 = SIN（X） - ，是幂函数为正弦平方。 它的参数也是一个三角函数， 一个复杂的论证。 在这种情况下，结果是等于所述第一乘法器的乘积为自变量的复杂衍生物的平方，并且所述第二 - 正弦的衍生物。 下面是用于区别函数的函数规则：（U（V（X））） '是（U（V（X）））' ·（V（X））”。 V表达的（X） - 复数参数（内部功能）。 如果给定的函数 “Y等于正弦平方X”，然后该复合函数的导数为y“= 2·SIN（X）·cos（x）的。 第一乘法器的乘积增加了一倍 - 衍生物已知指数函数，和Cos（X） - 的二次函数的导数窦复数参数。 最终的结果可以通过使用双角度的三角正弦的计算公式进行变换。 答：衍生物是SIN（2·X）。 这个公式很容易记住，它经常被用来作为一个表。