无限积分。 计算不确定积分

数学分析的基本分支之一是积分微积分。 它涵盖了最广泛的物体领域，其中第一个是不确定的积分。 定位它就像一个关键，即使在高中，显示越来越多的前景和机会，这是高等数学所描述的。

外形

乍一看，整体看起来完全是现代的，相关的，但在实践中，事实证明，它出现在 公元前 1800 年。 国土正式被认为是埃及，因为我们没有得到它的存在的早期证据。 他由于缺乏信息，这一切都定位为一种现象。 他再次确认了当时各国人民的科学发展水平。 最后，发现公元前4世纪的古希腊数学家的作品。 他们描述了一种应用无限积分的方法，其实质是找到曲线图（分别为三维和二维平面）的体积或面积。 计算原理基于将原始图分解为无穷小分量，前提是它们的体积（面积）已知。 随着时间的推移，阿基米德方法越来越多地使用它来找到抛物线的面积。 古代中国科学家们进行了类似的计算，而且完全独立于希腊的科学兄弟。

发展

公元11世纪的下一个突破是阿拉伯“普遍”的工作，阿布·阿里·巴斯里（Abu Ali al-Basri）通过推算从第一个到第四个的系列和总和的数量的计算公式来推广已经知道的边界， 数学归纳法
现代心灵欣赏古埃及人如何创造惊人的建筑纪念碑，没有任何特别的适应，除了自己的手，但不是当时科学家心灵的力量，不是奇迹？ 与现在的时代相比，他们的生活似乎几乎是原始的，但是无限积分的解决方法是无处不在的，并被用于实践中进一步发展。

下一步发生在十六世纪，意大利数学家卡瓦列里（ Pierre Fermat ）接受了意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）推断的不可分割的方法 。 正是这两个人为现在已知的现代积分演算奠定了基础。 他们将差异化和一体化的概念联系起来，以前被认为是自治单位。 总的来说，这些时代的数学是碎片化的，结论的粒子本身存在，应用范围有限。 统一的道路和寻求共同点是当时唯一正确的道路，感谢他现代的 数学分析 能够发展壮大。

随着时间的推移，一切都变了，也是整体的指定。 总而言之，科学家们也被指出，比如牛顿使用的是一个方形图标，他可以把它放在一个可以集成的功能上，或者简单地把它放在旁边。 这个分歧一直持续到17世纪，当时标志性科学家戈特弗里德·莱布尼兹（Gottfried Leibniz）介绍了我们对于整个数学分析理论非常熟悉的符号。 拉伸的“S”实际上是基于 拉丁字母 的这个 字母， 因为它表示对数的总和。 这个名字是由Jacob Bernoulli在15年后获得的。

正式定义

不确定的积分直接取决于反义词的定义，所以先考虑一下。

原语是与导数相反的函数，实际上也称为原语。 否则：函数d的反变量是一个函数D，其导数为v <=> V'= v。 搜索反义词是计算不确定积分，过程本身称为整合。

例如：

函数s（y）= y ³ ，反函数S（y）=（y 4/4）。

所考虑的功能的所有抗动力的集合是不确定的积分，它表示如下：∫v（x）dx。

由于V（x）只是原始函数的一些原语，所以我们有以下表达式：∫v（x）dx = V（x）+ C，其中C是常数。 任意常数被理解为任何常数，因为其导数为零。

性能

不确定积分所具有的属性基于衍生物的基本定义和性质。
考虑重点：

• 反义词的积分本身就是一个反偏差加上任意常数C <=∫V'（x）dx = V（x）+ C;
• 函数积分的导数是初始函数<=>（∫v（x）dx）'= v（x）;
• 该常数从积分<=>∫kv（x）dx =k∫v（x）dx的符号中取出，其中k是任意的;
• 从积分得到的积分与积分<=>∫（v（y）+ w（y））dy =∫v（y）dy +∫w（y）dy的和相等。

从最后两个属性可以得出结论，不确定积分是线性的。 因此，我们有：∫（kv（y）dy +∫lw（y））dy =k∫v（y）dy + lww（y）dy。

对于固定，我们考虑无限积分的解决方案的例子。

有必要找到积分∫（3sinx + 4cosx）dx：

• ∫（3sinx + 4cosx）dx =∫3sinxdx+∫4cosxdx=3∫sinxdx+4∫cosxdx= 3（-cosx）+ 4sinx + C = 4sinx-3cosx + C.

从这个例子我们可以得出结论：不知道如何解决不确定的积分？ 只要找到所有的反侠！ 下面是搜索的原则。

方法和例子

为了解决积分问题，我们可以采取以下方法：

• 使用完成的桌子;
• 整合零件;
• 通过更改变量进行集成;
• 在差分符号下求和。

表

最简单和最愉快的方式。 目前，数学分析可以拥有相当广泛的表格，其中规定了不确定积分的基本公式。 换句话说，在您和您之间派生的模板，只保留使用它们。 以下是可以导出几乎每个具有解决方案的示例的主表位置的列表：

• ∫0dy= C，其中C是常数;
• ∫dy= y + C，其中C是常数;
• ∫yn dy =（y ^{n + 1} ）/（n + 1）+ C，其中C是常数，n是非零数;
• ∫（1 / y）dy = ln | y | + C，其中C是常数;
• ∫ey dy = e ^y + C，其中C是常数;
• ∫ky dy =（k ^y / ln k）+ C，其中C是常数;
• ∫cosydy= siny + C，其中C是常数;
• ∫sinydy= -cosy + C，其中C是常数;
• ∫dy/ cos ² y = tgy + C，其中C是常数;
• ∫dy/ sin ² y = -ctgy + C，其中C是常数;
• ∫dy/（1 + y ² ）= arctgy + C，其中C是常数;
• ∫chydy= shy + C，其中C是常数;
• ∫shydy= chy + C，其中C是常数。

如有需要，可以采取几步，把积分放在桌面上，享受胜利。 示例：∫cos（5x -2）dx = 1 /5∫cos（5x-2）d（5x-2）= 1/5×sin（5x-2）+ C.

通过决定，很清楚，对于表示例，被积函数不具有乘数5.我们加上它并行乘以1/5，以使一般表达式不变。

按部件整合

考虑两个函数z（y）和x（y）。 它们在整个定义领域必须是持续可微的。 通过我们具有的分化属性之一：d（xz）= xdz + zdx。 整合平等的两面，我们得到：∫d（xz）=∫（xdz + zdx）=> zx =∫zdx+∫xdz。

重写结果方程，我们得到一个公式，描述了通过零件集成的方法：∫zdx= zx - ∫xdz。

为什么需要 事实是，一些例子有机会简化，相对来说，如果后者接近表格形式，将∫zdx减少到∫xdz。 此外，该公式可以多次应用，达到最佳效果。

如何以这种方式解决不确定的积分：

• 有必要计算∫（s + 1）e ^2s ds

∫（x + 1）e ^2s ds = {z = s + 1，dz = ds，y = 1 / 2e ^2s ，dy = e ^2x ds} =（（s + 1）e ^2s ）/ 2-1 / 2 ∫e2s dx =（（s + 1）e ^2s ）/ 2-e ^2s / 4 + C;

• 您需要计算∫lnsds

∫lnsds= {z = lns，dz = ds / s，y = s，dy = ds} = slns-∫sx ds / s = slns-∫ds= slns -s + C = s（lns-1）+ C.

可变更换

解决无限积分的这个原则与上述两者相比，在需求上并不逊色，虽然更为复杂。 该方法包括以下内容：令V（x）是一些函数v（x）的积分。 如果这个例子中的整体本身是复杂的，那么就有很大的困惑和困惑。 为了避免这种情况，实行从变量x到z的转换，其中当维持z对x的依赖性时，通用表达式被视觉地简化。

在数学语言中，它看起来像这样：∫v（x）dx =∫v（y（z））y'（z）dz = V（z）= V（y ^-1 （x）），其中x = y Z）是一个排列。 当然，反函数z = y ^-1 （x）也充分地描述了变量的依赖关系和相互关系。 一个重要的观察是，差分dx必须被新的差分dz所替代，因为在不确定积分中的变量的替换意味着它在任何地方的替换，而不仅仅是被积函数。

例如：

• 有必要找到∫（s + 1）/（s ² + 2s - 5）ds

我们应用替代z =（s + 1）/（s ² + 2s-5）。 那么dz = 2sds = 2 + 2（s + 1）ds <=>（s + 1）ds = dz / 2。 因此，我们得到以下表达式，这很容易计算：

∫（s + 1）/（s ² + 2s-5）ds =∫（dz / 2）/ z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• 有必要找到积分∫2s e ^s dx

对于解决方案，我们用以下形式重写表达式：

∫2s e ^s ds =∫（2e） ^s ds。

我们用a = 2e表示（通过替代参数，这一步不是，它仍然是），我们首先将复杂的积分提供给基本的表格形式：

∫（2e） ^s ds =∫as ds = a ^s / lna + C =（2e） ^s / ln（2e）+ C = 2 ^s e ^s / ln（2 + lne）+ C = 2 ^s e ^s / （Ln2 + 1）+ C.

绘制在差异的标志下

总而言之，这种无限积分的方法是可变替代原理的双胞胎，但在设计过程中存在差异。 让我们详细考虑一下。

如果∫v（x）dx = V（x）+ C和y = z（x），则∫v（y）dy = V（y）+ C.

同时，不要忘记琐碎的整体转型，其中：

• Dx = d（x + a），其中a是任何常数;
• Dx =（1 / a）d（ax + b），其中a再次为常数，但不等于零;
• Xdx = 1 / 2d（x2 + b）;
• Sinxdx = -d（cosx）;
• Cosxdx = d（sinx）。

如果我们考虑一般情况，当我们计算一个不确定的积分时，这些例子可以减少到通式w'（x）dx = dw（x）。

例子：

• 有必要找到∫（2s + 3） ² ds，ds = 1 / 2d（2s + 3）

∫（2s + 3） ² ds = 1/2∫（2s + 3） ² d（2s + 3）=（1/2）x（（2s + 3） ² ）/ 3 + C =（1/6） X（2s + 3） ² + C;

∫tgsds=∫sins/ cossds =∫d（coss）/ coss = -ln | coss | + C.

在线帮助

在某些情况下，可能是懒惰或迫切需要的内疚，您可以使用在线提示，或者使用不确定积分的计算器。 尽管整体的复杂性和争议都很明显，但是他们的解决方案还是以一定的算法为基础，这个算法是建立在“如果不是......然后...”的基础上的。

当然，这样一个计算器的例子尤其复杂，因为在这个过程中引入了某些元素的时候，人为地需要“强制”地引入某些元素，所以不可能实现这个结果的明显方法。 尽管这一声明有争议，但事实是如此，因为数学原则上是抽象科学，并且认为扩大可能范围的主要任务。 事实上，通过顺利进行的理论来升高和发展是非常困难的，所以不要以为解决我们给予的无限积分的例子是最有可能的。 但是，让我们回到技术方面。 至少要检查计算，你可以使用我们之前写过的所有服务。 如果需要自动计算复杂表达式，则不能免除，您将不得不诉诸更严重的软件。 首先要注意的是MatLab环境。

应用

无限积分的解决方案乍一看似乎完全脱离现实，因为很难看到明显的应用飞机。 事实上，它们不能在任何地方直接使用，但在实践中使用的决策过程中，它们被认为是不可或缺的中间元素。 因此，积分是反向分化的，因为它积极参与求解方程的过程。
反过来，这些方程直接影响机械问题的解决，轨迹和热导率的计算 - 简而言之，构成现在和塑造未来的一切。 我们上面考虑的不确定因素，只是乍一看是微不足道的，因为它是越来越多的新发现的基础。