罗素悖论：基本信息，实例，配方

罗素悖论是两个相互依存的逻辑矛盾。

两种形式的罗素悖论

在逻辑集的矛盾的最经常讨论的形式。 一些一套似乎是成员自己和其他人 - 没有。 集合所有集合本身就是一个集合，所以它似乎是指本身。 空或空的，但是，不应该是自身的成员。 因此，集合所有集合，零不纳入本身。 矛盾的产生当设定是否本身成员的问题。 这是可能的，当且仅当它不是。

另一种形式吊诡的是关于性能的矛盾。 某些属性，似乎是指自己，而有些则没有。 该物业是物业本身的属性，而属性是一只猫不是。 考虑具有不属于他一个属性的属性。 它是否适用于自己？ 再次，任何假设的应该是相反的。 这个悖论在伯特兰·拉塞尔（1872年至1970年），谁在1901年发现了它的名字命名。

故事

开幕罗素他的“数学原理”工作的过程中出现。 虽然他独立地发现矛盾，有证据表明，其他数学家和集理论，开发商包括埃恩斯特·泽米洛和戴维·希尔伯特，意识到在他面前的矛盾的第一个版本。 罗素，然而，是谁在具体的矛盾在他出版的著作中讨论的第一，试图制定解决方案，并率先充分认识其重要意义。 “原则”的一整章专门讨论这一问题的讨论，以及应用程序则专门类型的理论，罗素提出的解决方案。

罗素发现了“骗子的悖论”，考虑康托尔集理论，指出任何一组的功率大于设定其子集的更小。 至少在域中应尽可能多的子集，因为有在它的元件，如果每个元件的一个子集被设置仅含有该元素。 此外，坎托证明了元件的数量可以不等于子集的数量。 如果有相同数量的人，那就要存在ƒ功能，它会显示在他们的子集的元素。 同时也可以证明，这是不可能的。 有些项目可能显示在包含这些功能ƒ子集，而其他人可能不会。

考虑到不属于自己的形象，他们在显示ƒ元素的子集。 它本身是元件的子集，因此，ƒ函数将其显示在域中的元素上。 的问题是，则出现这样的问题，以该元素是否属于其所显示的ƒ子集。 这是唯一可能的，如果它不属于。 罗素悖论可以看作是相同的推理的一个例子，仅简化。 更重要的是 - 设定的集合或子集？ 这似乎应该有更多集，集合自己的所有子集。 但是，如果康托尔定理是真实的，那么就应该有更多的子集。 罗素认为简单地显示对自己集和施加kantoriansky方法考虑到集中的所有这些元件，在其中它们被显示的一组外的。 显示拉塞尔成为集所有套，非的。

错误弗雷格

“说谎者悖论”对的集理论的历史发展产生深远的影响。 他指出，普遍集的概念是很成问题。 他还质疑，对于每个定义的条件或谓词可以假定多个仅满足该条件的那些东西的存在的概念。 一个自然延伸版本集 - - 关于属性选项悖论提出了严重怀疑它是否是可能的争论属性的客观存在或通用符合各自通过的条件，或谓确定。

不久，在逻辑学家工作的矛盾和问题被发现了，谁也做出了类似的假设哲学家和数学家。 1902年，罗素发现悖论的一个变体可以在一个逻辑体系来表达，在戈特洛布·弗里奇的“算术基础”第一卷，对已故十九的逻辑的主要作品之一开发 - 二十世纪早期。 在弗雷格的哲学许多理解为“扩展”或“值范围”的概念。 概念是最接近这些相关因素的。 他们预计对于任何给定的条件或谓词存在。 因此，存在一组，它不根据其定义概念落入的概念。 也有这个概念定义一个类，它是受定义，只有当它是不是它的概念。

罗素在1902年6月写信给弗雷格这个冲突通讯已经成为最令人兴奋的一个，并在逻辑的历史谈起。 弗雷格立即承认矛盾的灾难性后果。 不过，他指出，关于他的哲学性质的争论的版本是由水平的概念区分解决。

弗雷格的概念理解为从功能到TRUE的参数的转变。 概念第一级以作为参数的第二层次的概念的对象采取作为参数传递给这些功能，等等。 因此，这个概念不能把自身作为参数，并且在性能方面的矛盾无法制定。 尽管如此套，膨胀或概念弗雷格理解为是指相同的逻辑类型与所有其他对象的。 那么对每一集有一个问题，它是否属于定义它的概念之下。

当弗雷格，罗素收到的第一个字母的“算术基础”第二卷已完成打印。 他被迫迅速编写一个应用程序，让一个答案罗素悖论。 例如弗雷格载有一些可能的解决方案。 但他得出的结论削弱抽象集的概念在逻辑系统。

在原始的，有可能得出结论，该对象属于集合，当且仅当其落入概念内，定义它。 经修订的系统只能得出这样的结论对象属于集合，当且仅当其落入限定多个的概念内，但在问题没有设置。 罗素悖论就产生了。

该解决方案，但是，是不是完全满意弗雷格。 这是原因。 若干年后，矛盾更复杂的形式已经发现了修订后的制度。 但即使在此之前发生的事情，弗雷格放弃了自己的决定，似乎得出的结论，他的做法是行不通简单，而逻辑将没有任何的套做。

还有一些人已经提出，相对较为成功的替代解决方案。 这些将在下面讨论。

类型理论

有人指出以上，弗雷格是悖论的充分响应集理论中的版本制定了性能。 弗雷格的响应是由最经常讨论的溶液于这种形式的悖论之前。 它是基于这样的事实，性质都受到不同类型和什么类型的属性是绝不相同就其所涉及的项目。

因此，即使没有出现这样的问题，无论是性能，适用于自身。 逻辑语言，其分离这样的层次结构的元件，使用的类型的理论。 虽然现在已经使用弗雷格，它第一次全面的说明及其附件“的原则”，在证实罗素。 类型理论比弗雷格水平的区分更加完整。 她共享特性，不仅不同类型的逻辑，还设置。 类型理论解决的罗素如下悖论的矛盾。

为了成为一个哲学充足，采用类型的属性的理论需要的属性，以便性质的理论的发展可以解释为什么他们不能被应用到自己。 乍一看，这是有道理的谓词自己的财产。 被认同的财产，这似乎也是一种自我认同。 酒店似乎是一个不错的享受。 以同样的方式，显然，看来假的说，当一只猫的属性是一只猫。

然而，不同的思想家有道理不同类型的划分。 罗素甚至在职业生涯的不同时期给予不同的解释。 就其本身而言，对于弗雷格水平的不同概念的分离的理由来自于他的不饱和概念理论。 概念功能，本质上是不完整的。 为客户提供价值，他们需要一个参数。 你不能只是一个概念的谓词相同类型的概念，因为它仍然需要它的参数。 例如，尽管可以采取一系列的平方根的平方根，你不能只用一个平方根函数平方根函数和得到的结果。

关于保守主义性质

另一种可能的解决方案是任何给定的条件下，或合式谓词下悖论属性否定性质的存在。 当然，如果有人避开客观和独立的要素作为一个整体的形而上学的性质，如果我们把唯悖论可以完全避免。

然而，要解决的矛盾不必如此极端。 逻辑更高阶系统根据它开发弗雷格和Russell，包含所谓的概念的原则，不论多么复杂作为属性或概念，例如，只匹配式那些项目中的一部分存在的每个开放式。 他们向每一个可能的一系列条件或谓词的属性，无论他们多么复杂了。

尽管如此，有可能采取更严格的形而上学性，给予正确的简单性的客观存在，包括，例如，如红色的色泽，硬度，善良等等。D.你甚至可以让这些属性适用于自己，比如善良能善待。

和复杂的属性相同的状态可以被拒绝，例如，这样的“属性”为具有17-头，水下被书写等。D.在这种情况下，没有预先确定的条件不符合属性，理解为分别现有的元素，它有自己的属性。 因此，可以拒绝简单属性的存在是属性 - 即-未施加到自并且通过应用更保守的形而上学性质避免矛盾。

罗素悖论：解决方案

上面有人指出，在他生命的最后弗雷格完全抛弃套的逻辑。 这当然，一个解决方案的二律背反的在集的形式：这些元件作为一个整体的存在一个简单的拒绝。 此外，还有其他流行的选择，它的基本原理如下所示。

该理论对许多类型的

正如前面提到的，拉塞尔效力过的类型，谁也不仅分享属性或概念在不同类型的更完整的理论，而且设置。 罗素共享集上的多个分离的单元，多组独立的物体，等等的对象的集合不被认为是，和多组 - ..集。 很多从来没有享受过的类型，让你有作为自身的成员。 因此，没有设置不属于自己的成员的所有组，因为任何一组关于它是否是为成员，本身就是违规类型的问题。 同样，这里的问题是解释形而上学组来划分的哲学基础讲解分为不同的类型。

分层

1937年，五，五Kuayn提供了一种替代解决方案，以类似于类型理论的一种方式。 关于它的基本信息是。

分离元件套等。材质，这样找到的多个假设总是不正确或无意义的。 确定其条件时才能提供集是不是违反类型。 因此，对于奎因，表述“x不是X的成员”是有意义的语句并不意味着该组满足该条件的所有元素x的存在。

在该系统中的一组存在一些开放式A当且仅当它被分层，吨。E.如果变量被分配的正整数，使得对于多个其可变前述中的每个特征出现时分配的分配单元小于变量，之后他跟随。 此块罗素悖论，因为公式来确定问题集，有相同的前后可变会员标志使它不分层后。

但目前尚未确定是否将导致系统，奎因叫做“数理逻辑的新基础”是一致的。

拒绝

一种完全不同的方法是采取在策梅洛的理论 - 弗兰克尔（ZF）。 在这里，上套的存在来设置的限制。 相反，接近罗素和弗雷格，是谁最初认为，对于所有的概念，性质，或条件可能会建议集合的所有事物的存在与此属性或满足这样的条件，在ZF-理论的“自上而下”的，一切都开始“从下往上”。

空集的和单独的元件形成一组。 因此，不像早期的系统和拉塞尔·弗里奇FIT不属于全集，其中包括所有元素，甚至所有的集合。 ZF设定了套存在严格的限制。 只可能存在的那些，这就是它清楚地推测或可被迭代过程等来配制。D.

然后，代替概念抽象幼稚组其中指出一个特定的元素被包括在所述一组当且仅当其满足在使用DF，分离或“排序”分离原理的条件。 而不是假设的集合，其是无例外的所有元素的存在满足一定条件，对于每个组现有的Aussonderung指示在原始集合满足条件的所有元素的子集的存在。

然后是抽象的原则：如果集合A中存在，那么，对A所有的x，x属于子集A，满足条件，当且仅当x满足条件C.这种方法解决了悖论罗素，因为我们不能简单地假设也就是说，一套不属于自己的成员的所有套。

有很多套，你可以选择或者将其分为多个组，以便在自己，和那些谁不这样，但因为没有全集也决不能所有集合的集合。 而不承担习题集罗素矛盾不能得到证明。

其他解决方案

此外，也出现了后续的扩展或这些溶液的修饰，如“数学原理”的系统扩展“数学逻辑”奎因，以及在集合理论更近期发展的叉型理论，制成伯奈斯，哥德尔和冯·诺依曼。 与不溶性的悖论伯特兰·拉塞尔响应是否发现问题，仍是一个有争议的问题。