斜梯形等边。 什么是梯形的中间线。 梯形的类型。 飞人 - 它..

梯形是四边形的特殊情况，其中一对边是平行的。 术语“梯形”来自希腊词τράπεζα，意思是“表”，“表”。 在这篇文章中，我们将讨论梯形类型及其属性。 此外，我们将了解如何计算这个 几何图形 的各个元素 。 例如，等边梯形的对角线，中间线，面积等。材料以基本流行的几何形状描述，即以容易获得的形式描述。

一般信息

首先，我们来看看四边形是什么。 该图是包含四边和四个顶点的多边形的特殊情况。 不相邻的四边形的两个顶点称为相对顶点。 关于两个不相邻的侧面也可以这样说。 四边形的主要类型是平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形和剥皮。

所以，回到梯形。 正如我们已经说过的，这个数字有两面是平行的。 他们被称为基地。 另外两个（非平行）是侧面。 在考试和各种考试的材料中，经常有可能满足与梯形相关的任务，其解决方案往往要求学生掌握程序不提供的知识。 几何学校课程介绍学生的角度和对角线的属性，以及等腰梯形的中间线。 但毕竟，除此之外，上述几何图还有其他特点。 但后来他们呢

梯形类型

这个数字有很多种。 然而，其中两个通常被认为是等腰和矩形。

矩形梯形是其中一个侧面垂直于基座的图形。 它有两个角度总是等于九十度。

等腰梯形是一个几何图形，它们的边彼此相等。 这意味着底座的角度也成对相等。

研究梯形特性的技术的主要原理

主要原则是使用所谓的问题方法。 事实上，没有必要在理论几何课程中引入这个数字的新属性。 可以在解决各种问题（更好的系统）的过程中开放和制定。 同时，教师知道在教育过程的一个或另一个时刻，在学童面前要做什么任务是非常重要的。 此外，每个梯形属性可以表示为任务系统中的关键任务。

第二个原则是所谓的螺旋组织研究“卓越”的梯形特性。 这意味着学习过程中给定几何图形的各个特征的返回。 因此，学生更容易记住。 例如，四点的财产。 在相似性的研究中，后来在向量的帮助下可以证明这一点。 并且通过不仅应用与位于同一条线上的侧面相等的高度的三角形的属性，而且还使用公式S = 1/2（ab *sinα），可以证明与图的边相邻的三角形的相等性。 另外，可以在所描述的梯形上的内切梯形或直角三角形上 求出正弦定理 ，等等。

在课程内容中使用几何图形的“非纲领”特征是他们的教学的审慎技术。 在通过其他课题时，不断吸引研究的财产，让学生更好地了解梯形，确保解决任务的成功。 所以，我们开始研究这个非凡的数字。

等腰梯形的元素和性质

正如我们已经指出的那样，在这个几何图中，两边是相等的。 她也被称为正确的梯形。 为什么这么引人注目，为什么会得到这样的名字？ 这个数字的特点是，不仅基座的侧面和角落相等，还有对角线。 此外，等腰梯形的角度之和为360度。 但这不是全部！ 在所有已知的梯形中，只有围绕一个等腰可以形成一个圆。 这是由于这个数字的相反角度之和是180度的事实，但是只有在这样的条件下，可以描述四边形周围的圆。 所讨论的几何图形的下一个属性是从底部顶部到相对顶点到包含该基底的线的投影的距离将等于中线。

现在我们来弄清楚如何找到等腰梯形的角度。 让我们考虑解决这个问题，只要数字的两边的尺寸是已知的。

解决方案

通常四边形通常由字母A，B，C，D表示，其中BS和AD为基数。 在等腰梯形，两边平等。 我们将假设它们的大小等于X，并且基数的大小等于Y和Z（分别越来越小）。 为了进行计算，有必要从角度B绘制高度H.因此，我们有一个矩形三角ABN，其中AB是斜边，BN和AN是腿。 我们计算AN的大小：从较大的基数我们减去较小的，并将结果除以2.我们以公式：（ZY）/ 2 = F的形式写入。现在，为了计算三角形的锐角，我们使用函数cos。 我们得到以下符号：cos（β）= X / F. 现在计算角度：β= arcos（X / F）。 此外，知道一个角落，我们可以定义第二个，为此我们做出基本的算术运算：180 - β。 所有角度被定义。

这个问题还有第二个解决方案。 从一开始，我们从角度B降低高度H.我们计算BN值的值。 我们知道直角三角形的斜边的平方等于腿的平方的总和。 我们得到：BN =√（X2-F2）。 接下来，我们使用三角函数tg。 结果我们有：β= arctg（BN / F）。 发现急性角度。 接下来，我们类似于第一种方法来定义钝角。

等腰梯形的对角线的属性

首先，我们写下四条规则。 如果等腰梯形的对角线垂直，则：

- 数字的高度将等于基数除以2的总和;

- 其高度和中线相等;

- 梯形区域将等于高度的平方（中间线，基数之和的一半）;

- 对角线的平方等于基数之和或中线（高度）的双倍平方的平方的一半。

现在我们考虑确定等边梯形对角线的公式。 这个信息块可以分为四个部分：

1.对角线长度的公式。

假设A是底部底部，B是顶部，C是相等的边，D是对角线。 在这种情况下，长度可以如下确定：

D =√（C2 + A * B）。

通过余弦定理对角线长度的公式。

假设A是底部底部，B是顶部，B是顶侧，D是对角线，α（在底部底部）和β（在上部底部）是梯形角。 我们得到以下公式，通过这些公式可以计算出对角线的长度：

- Д=√（А2+С2-2А*С*cosα）;

- Д=√（А2+С2-2А*С*cosβ）;

- Д=√（В2+С2-2В*С*cosβ）;

- Д=√（В2+С2-2В*С*cosα）。

等腰梯形对角线长度公式。

假设A是底部底部，B是顶部，D是对角线，M是中线，H是高度，P是梯形面积，α和β是对角线之间的角度。 确定以下公式的长度：

- D =√（M2 + H2）;

- D =√（H2 +（A + B）2/4）;

- D =√（H（A + B）/sinα）=√（2P /sinα）=√（2M * H /sinα）。

对于这种情况，等式sinα=sinβ是有效的。

对角线长度公式通过侧面和高度。

假设A是底部底部，B是顶部，C是侧面，D是对角线，H是高度，α是与底部底部的角度。

确定以下公式的长度：

- D =√（H2 +（A-P *ctgα）2）;

- Д=√（Н2+（В+Р*ctgα）2）;

- Д=√（А2+С2-2А*√（С2-Н2））。

矩形梯形的元素和属性

让我们看看这个几何图形有趣的东西。 正如我们已经说过的，一个矩形梯形具有两个直角。

除了古典的定义，还有其他的。 例如，矩形梯形是梯形，其中一侧垂直于基部。 或者在一边有直角的数字。 在这种梯形中，高度等于垂直于基部的侧面。 中线是连接双方中间的部分。 提到的元素的属性是它与基座平行，并且等于它们的总和的一半。

现在我们来看一下定义这个几何图形的基本公式。 为此，我们假设A和B是基数; C（垂直于基座）和D - 矩形梯形，M - 中线，α - 锐角，P - 面积。

垂直于基座的侧面等于图形的高度（C = H），并且等于较大的基座（C = D *sinα）的第二面D的长度与角度α的正弦的乘积。 此外，它等于锐角α的切线与基底的差异的乘积：C =（A-B）*tgα。

侧面D（不垂直于基座）等于锐角的锐角或余弦（α）与锐角的正弦的特定差A（A-B）/cosα= C /sinα。

垂直于底座的一侧等于D的二次方的平方根与基座的差的平方的平方根：

C =√（A2-（A-B）2）。

矩形梯形的侧面D等于侧面C的平方和和几何图形的差的平方的平方根：D =√（C2 +（A-B）2）。

侧面C等于将双面积除以基数之和的商：C =П/М=2П/（А+Б）。

该区域由乘积M（矩形梯形的中间线）垂直于基座的高度或侧面确定：М=М*Н=М*С。

侧面C等于将图的加倍区域除以锐角的正弦与其基数之和的乘数：C =П/М*sinα=2π/（（А+Б）*sinα）。

矩形梯形的横向侧面通过其对角线和它们之间的角度的公式：

- sinα=sinβ;

- C =（A1 * A2 /（A + B））*sinα=（A1 * A2 /（A + B））*sinβ，

其中D1和D2是梯形的对角线; Α和β是它们之间的角度。

侧面通过底部底部和另一侧的角度的公式：D =（AB）/cosα= C /sinα= H /sinα。

由于具有直角的梯形是梯形的特定情况，因此定义这些图形的其余公式将对应于矩形。

标记圈属性

如果条件说一个圆形刻在一个矩形梯形，那么你可以使用以下属性：

- 基数之和等于侧面的总和;

- 从矩形图的顶部到内切圆的切点的距离总是相等的;

- 梯形的高度等于垂直于底座的侧面，等于 圆 的 直径 ;

圆的中心是角度的 平分线 相交的点;

- 如果侧面被切线点除以段H和M，则 圆 的 半径 等于这些段的乘积的平方根;

- 由相切点形成的四边形，梯形顶点和内切圆的中心是其侧面等于半径的正方形;

- 图的面积等于基数和基数半数与其高度的乘积。

相似的梯形

这个主题对于研究这个 几何图形 的属性非常方便 。 例如，对角线将梯形分成四个三角形，与基座相邻，三角形相等。 这个语句可以称为三角形的属性，梯形被它的对角线分隔。 这个断言的第一部分通过两个角度的相似性标准来证明。 为了证明第二部分，最好使用下面给出的方法。

定理的证明

我们假设ABSD图案（AD和BS - 梯形基座）被VD和AC的对角线断开。 它们的交点为O.我们得到四个三角形：AOS - 在底部底部，BOS - 在上部底部，ABO和SOD在侧面。 在区段BD和OD为其基础的情况下，SOD和BFD的三角形具有相同的高度。 我们得到它们的区域的差异（Π）等于这些区段的差异：ΠС/ /СОД= = = / / /Д= =Следовательно。因此，LDPE = NSP / K. 类似地，三角形BF和AOB具有共同的高度。 我们以CO和OA部分为基础。 我们得到PBO / PAOB = CO / OA = K和PAOB = PBO / K. 由此可见，PSCM = PAOB。

为了修复材料，鼓励学生找到三角形的区域之间的连接，梯形被对角线分开，解决了以下问题。 已知BF和ADN区域的三角形相等，有必要找到梯形区域。 由于LDPE = PAOB，这意味着PABSD = PBO + PAOJD + 2 * PODC。 从BFU和AOD的三角形的相似性可以看出，BD / DD =（PBO / PAOD）。 因此，BSP / DPPM = BW / DD =√（PBO / PAOD）。 我们得到LDP =√（PBO * PAOD）。 那么PABSD = PBO + PAOAD + 2 *√（PAO * PAOD）=（√POPS+√PAOOD）2。

相似性

继续开发这个话题，可以证明其他有趣的梯形特征。 因此，使用相似度，我们可以证明通过由该几何图形的对角线形成的点平行于基部的点的特性。 为此，我们解决了以下问题：需要找到通过点O的段PK的长度。从三角形ADD和BFD的相似性可以看出，AO / OC = AD / BS。 从三角形AOP和ASB的相似性可知，AO / AC = PO / BS = AD /（BS + AD）。 由此得到PO = BC * AD /（BS + AD）。 类似地，根据三角形DKK和DBS的相似性，OK = BS * AD /（BS + AD）。 由此可知PO = OK和PK = 2 * BS * AD /（BS + AD）。 穿过平行于基座并连接两个侧面的对角线交点的线段被交叉点分成两半。 其长度是该图的平均谐波基数。

考虑以下梯形质量，这被称为四点的属性。 对角线（O）的交点，侧面（E）的延伸线和基座（T和M）的中间部分的交点总是位于一条线上。 这通过相似性方法很容易证明。 获得的三角形BEC和AED是相似的，并且在它们的每一个中，ET和EF中心将E的顶点处的角度分成相等的部分。 因此，点E，T和M位于一条线上。 以完全相同的方式，点T，0和M位于一条直线上，所有这些都来自三角形BOS和AOD的相似性。 因此，我们得出结论，E，T，O和M的所有四个点都将位于一条直线上。

使用类似的梯形，您可以要求学生找到段（LF）的长度，将数字分成两个类似的。 该段必须与基底平行。 由于获得的ALFD和LBSF的梯形相似，所以BS / LF = LF / AD。 因此LF =√（BS * AD）。 我们得到将梯形分成两个类似的段具有等于该图的基础的平均几何长度的长度。

请看下面的相似特性。 它是基于将所述梯形成两个相等大小的块的段。 接受飞人ABSD段被分成两个相似的EH。 从B的顶部降低该段的高度被分为两个部分EN - B1和B2。 获得PABSD / 2 =（BS + EH）* V1 / 2 =（AP + EH）* B2 / 2 = PABSD（BP + BS）*（B1 + B2）/ 2。 进一步组成的系统，其中，所述第一方程（BS + EH）* B1 =（BP + EH）* B2和第二（BS + EH）* B1 =（BP + BS）*（B1 + B2）/ 2。 由此可见，B2 / B1 =（BS + EH）/（BP + EH）和BS + EH =（（BS + BP）/ 2）*（1 + B2 / B1）。 我们发现，将所述梯形上两个相等，等于二次碱基的平均长度的长度：√（（CN2 + AQ2）/ 2）。

相似的结论

因此，我们已经证明了：

1.连接在侧面梯形的中间段，平行于BP和BS和BS是算术平均和BP（梯形的碱基长度）。

2.通过对角线并行AD和BC的交叉点O酒吧将等于调和平均值号BP和BS（2 * BS * AD /（AD + BC））。

3.段以类似于梯形打破具有长度几何平均碱基BS和BP。

4.将所述形状成两个相等大小的元素，长度均方号码BP和BS。

为了巩固学生的段之间的联系的物质和意识是必要的，以建立他们的具体梯形。 他可以很容易地显示的平均线和通过点的分段 - 附图的对角线的交点 - 平行于地面。 但是，在将第三和第四？ 这种反应会导致学生对平均值之间的关系不明的发现。

段加入了梯形的对角线的中点

考虑人物的下列财产。 我们接受该段MN平行于基地和半斜分。 交叉点被称作W和S.该段将是等于差原因的一半。 让我们更详细地研究这个。 MSH - 三角形ABS的平均线，它等于到BS / 2。 小能隙 - 的三角形DBA的中间线，它等于AD / 2。 然后我们发现，SHSCH =小能隙-MSH因此SHSCH = AD / 2-BS / 2 =（AD + BC）/ 2。

重心

让我们来看看如何定义的元素对于给定的几何图形。 要做到这一点，你必须扩展在相反方向的基础。 这是什么意思？ 这是必要的基础，添加到鞋帮底部 - 给任何一方，例如，在右边。 较低的延长左上的长度。 接下来，他们的对角线。 这个段与该图的中心线的交点的点是梯形的重心。

落款和描述飞人

让我们列表等功能的数字：

1.线路可以在仅当它是等腰的圆内接。

2.围绕圆可以被描述为一个梯形，其前提是它们的基部的长度之和是边的长度的总和。

内切圆的后果：

1.梯形的高度始终描述等于两倍的半径。

2中描述的梯形的侧从直角的圆的中心观察。

第一个后果是显而易见的，并证明二是需要建立SOD的角度是直接的，也就是，其实也并不容易。 但这种属性的知识可以让你用一个直角三角形来解决问题。

现在我们指定的等腰梯形，其在圆内切的后果。 我们得到的高度是几何平均值数字基地：H = 2R =√（BS * BP）。 履行求解梯形问题（两种高度的原则）的基本方法，学生必须解决以下任务。 接受BT - 等腰三角形的高度数字ABSD。 你需要找到AT和AP的延伸。 应用上面，它会做描述的公式是不困难的。

现在让我们解释如何确定从区域描述梯形的圆的半径。 从底座BP上的顶部乙高度删去。 由于圈中的梯形内切时，BS + 2AB = BP或AB =（BS + BP）/ 2。 从三角形ABN查找sinα= BN / 2 * AB = BN /（AD + BC）。 PABSD =（BS + BP）BN * / 2，BN = 2R。 获得PABSD =（BP + BS）* R，由此得出R = PABSD /（AD + BC）。

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所有公式中线飞人

现在是时候去这个几何图形的最后一个项目。 我们就会明白，什么是梯形（M）的中间线：

1.通过碱：M =（A + B）/ 2。

2.高度，底部和拐角后：

•M-H = A *（ctgα+ctgβ）/ 2;

•M + H = D *（ctgα+ctgβ）/ 2。

3.通过的高度以及它们之间的对角线角度。 例如，D1和D2 - 对角线梯形的; α，β - 它们之间的角度：

M = D1 * D2 *sinα/ 2 H = D1 * D2 *sinβ/ 2H。

4.在面积和高度：M = R / N。